ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Геометрия как один из основных разделов школьной математики,
имеющий своей целью обеспечить изучение свойств и размеров фигур, их
отношений и взаимное расположение, опирается на логическую,
доказательную линию. Ценность изучения геометрии на уровне основного
общего образования заключается в том, что обучающийся учится проводить
доказательные рассуждения, строить логические умозаключения, доказывать
истинные утверждения и строить контрпримеры к ложным, проводить
рассуждения «от противного», отличать свойства от признаков,
формулировать обратные утверждения.
Второй целью изучения геометрии является использование её как
инструмента при решении как математических, так и практических задач,
встречающихся в реальной жизни. Обучающийся должен научиться
определить геометрическую фигуру, описать словами данный чертёж или
рисунок, найти площадь земельного участка, рассчитать необходимую длину
оптоволоконного кабеля или требуемые размеры гаража для автомобиля.
Этому соответствует вторая, вычислительная линия в изучении геометрии.
При решении задач практического характера обучающийся учится строить
математические модели реальных жизненных ситуаций, проводить
вычисления и оценивать адекватность полученного результата.
Крайне важно подчёркивать связи геометрии с другими учебными
предметами, мотивировать использовать определения геометрических фигур
и понятий, демонстрировать применение полученных умений в физике и
технике. Эти связи наиболее ярко видны в темах «Векторы»,
«Тригонометрические соотношения», «Метод координат» и «Теорема
Пифагора».
Учебный курс «Геометрия» включает следующие основные разделы
содержания: «Геометрические фигуры и их свойства», «Измерение
геометрических величин», «Декартовы координаты на плоскости»,
«Векторы», «Движения плоскости», «Преобразования подобия».
На изучение учебного курса «Геометрия» отводится 204 часа: в 7 классе
– 68 часов (2 часа в неделю), в 8 классе – 68 часов (2 часа в неделю), в 9
классе – 68 часов (2 часа в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
9 КЛАСС
Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное
тригонометрическое тождество. Формулы приведения.
Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов.
Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и
теоремы синусов.
Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов.
Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении
отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.
Вектор,
длина
(модуль) вектора,
сонаправленные
векторы,
противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов,
равенство векторов, операции над векторами. Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение
векторов, применение для нахождения длин и углов.
Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности
в координатах, пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его
применение.
Правильные многоугольники. Длина окружности. Градусная и
радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей. Площадь круга,
сектора, сегмента.
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные
представления). Параллельный перенос. Поворот.
ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса
«Геометрия» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской
деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач
в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и
оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе
ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;
выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно несложные доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным
учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения
в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять
результаты
решения
задачи,
эксперимента,
исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления
с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких
людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их
помощью различные элементы прямоугольного треугольника («решение
прямоугольных треугольников»). Находить (с помощью калькулятора) длины
и углы для нетабличных значений.
Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим
тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими
величинами.
Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных
элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при
решении геометрических задач.
Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных
элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных
фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур.
Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить
примеры подобных фигур в окружающем мире.
Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении
отрезков секущих, о квадрате касательной.
Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический
смысл, применять их в решении геометрических и физических задач.
Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов.
Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в
решении геометрических и практических задач.
Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности,
длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь
круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах.
Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения
плоскости в простейших случаях.
Применять полученные знания на практике – строить математические
модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления
с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где
необходимо, калькулятором).
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
9 КЛАСС
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
1
Тригонометрия. Теоремы косинусов и
синусов. Решение треугольников
16
1
0
https://m.edsoo.ru/N5C1F0Y8Q
2
Преобразование подобия.
Метрические соотношения в
окружности
10
1
1
https://m.edsoo.ru/Y1C1H2L7A
3
Векторы
12
0
0
https://m.edsoo.ru/G9G1S4I4Q
4
Декартовы координаты на плоскости
9
1
0
https://m.edsoo.ru/D7D4T0S9Z
5
Правильные многоугольники. Длина
окружности и площадь круга.
Вычисление площадей
8
0
0
https://m.edsoo.ru/Q3Y8W0H3L
6
Движения плоскости
6
1
0
https://m.edsoo.ru/G6D6E5E9J
7
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
7
1
0
https://m.edsoo.ru/A7C2G3N3P
68
5
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
9 КЛАСС
№
п/п
Количество часов
Тема урока
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
1
Определение векторов.
Физический и геометрический
смысл векторов
1
0
0
2
Сложение и вычитание
векторов, умножение вектора
на число
1
0
0
3
Сложение и вычитание
векторов, умножение вектора
на число
1
0
0
4
Сложение и вычитание
векторов, умножение вектора
на число
1
0
0
5
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
1
0
0
6
Координаты вектора
1
0
0
7
Скалярное произведение
векторов, его применение для
нахождения длин и углов
1
0
0
8
Скалярное произведение
векторов, его применение для
нахождения длин и углов
1
0
0
Дата
изучения
01.09.2026
04.09.2026
08.09.2026
11.09.2026
15.09.2026
18.09.2026
22.09.2026
25.09.2026
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
https://m.edsoo.ru/W5U3B7V4A
https://m.edsoo.ru/Q4Z2G9U6P
https://m.edsoo.ru/S6W1W0E9T
https://m.edsoo.ru/C3F0F2A0L
https://m.edsoo.ru/Y9M0S4Y7L
https://m.edsoo.ru/B2X2F6O6L
https://m.edsoo.ru/J0G8C1A4M
https://m.edsoo.ru/E8Y6L1K8G
9
Решение задач с помощью
векторов
1
0
0
10
Решение задач с помощью
векторов
1
0
0
11
Применение векторов для
решения задач физики
1
0
0
12
Систематизация и обобщение
знаний
1
0
0
13
Декартовы координаты точек
на плоскости
1
0
0
14
Уравнение прямой
1
0
0
15
Уравнение прямой
1
0
0
16
Уравнение окружности
1
0
0
17
Координаты точек пересечения
окружности и прямой
1
0
0
18
Метод координат при решении
геометрических задач,
практических задач
1
0
0
19
Метод координат при решении
геометрических задач,
практических задач
1
0
0
20
Метод координат при решении
геометрических задач,
практических задач
1
0
0
21
Контрольная работа по теме
1
1
0
29.09.2026
02.10.2026
06.10.2026
09.10.2026
13.10.2026
16.10.2026
20.10.2026
23.10.2026
06.11.2026
10.11.2026
13.11.2026
17.11.2026
https://m.edsoo.ru/J8U0E1A2O
https://m.edsoo.ru/V3A4R9S5N
https://m.edsoo.ru/Y6L2Q5W4B
https://m.edsoo.ru/B8Z7R7R3V
https://m.edsoo.ru/P7I3P8N5I
https://m.edsoo.ru/C3C1S1L1T
https://m.edsoo.ru/Q4C4R9P7V
https://m.edsoo.ru/M8O4O0P6T
https://m.edsoo.ru/W9L3G6K5D
https://m.edsoo.ru/J8F3V8V0X
https://m.edsoo.ru/U2P9F4Y1R
https://m.edsoo.ru/C0E1B7W5E
https://m.edsoo.ru/F6Q7C4O5E
"Декартовы координаты на
плоскости"
20.11.2026
22
Определение
тригонометрических функций
углов от 0° до 180°
1
0
0
23
Формулы приведения
1
0
0
24
Теорема косинусов
1
0
0
25
Теорема косинусов
1
0
0
26
Теорема косинусов
1
0
0
27
Теорема синусов
1
0
0
28
Теорема синусов
1
0
0
29
Теорема синусов
1
0
0
30
Нахождение длин сторон и
величин углов треугольников
1
0
0
31
Решение треугольников
1
0
0
32
Решение треугольников
1
0
0
33
Решение треугольников
1
0
0
34
Решение треугольников
1
0
0
24.11.2026
27.11.2026
01.12.2026
04.12.2026
08.12.2026
11.12.2026
15.12.2026
18.12.2026
22.12.2026
25.12.2026
29.12.2026
12.01.2027
https://m.edsoo.ru/N4U9N8S5B
https://m.edsoo.ru/M4T1M2C6I
https://m.edsoo.ru/X6D4T5E8R
https://m.edsoo.ru/G2U8M5V2S
https://m.edsoo.ru/P6X1X8V0Y
https://m.edsoo.ru/X7S0L2F5L
https://m.edsoo.ru/T3C9O0K4T
https://m.edsoo.ru/U3Z3D9G7Y
https://m.edsoo.ru/C5K0P7U6A
https://m.edsoo.ru/H9D7N7H1X
https://m.edsoo.ru/U5A4N9B4X
https://m.edsoo.ru/B2Z3A3G5D
https://m.edsoo.ru/T4B3L9O9N
15.01.2027
35
Практическое применение
теорем синусов и косинусов
1
0
0
36
Практическое применение
теорем синусов и косинусов
1
0
0
37
Контрольная работа по теме
"Решение треугольников"
1
1
0
38
Правильные многоугольники,
вычисление их элементов
1
0
0
39
Число π. Длина окружности
1
0
0
40
Число π. Длина окружности
1
0
0
41
Длина дуги окружности
1
0
0
42
Радианная мера угла
1
0
0
43
Площадь круга, сектора,
сегмента
1
0
0
44
Площадь круга, сектора,
сегмента
1
0
0
45
Площадь круга, сектора,
сегмента
1
0
0
46
Понятие о движении плоскости
1
0
0
47
Параллельный перенос,
поворот
1
0
0
48
Параллельный перенос,
1
0
0
19.01.2027
22.01.2027
26.01.2027
29.01.2027
02.02.2027
05.02.2027
09.02.2027
12.02.2027
16.02.2027
19.02.2027
26.02.2027
02.03.2027
05.03.2027
https://m.edsoo.ru/X0O8I4D8O
https://m.edsoo.ru/H4L7L1V9E
https://m.edsoo.ru/N8G3R1V0B
https://m.edsoo.ru/D8M7C4B3B
https://m.edsoo.ru/S2D0A8I0G
https://m.edsoo.ru/H7E4B7J1N
https://m.edsoo.ru/I6G2X5M8B
https://m.edsoo.ru/A2X3T6K0Y
https://m.edsoo.ru/J2Q4S3W9R
https://m.edsoo.ru/S1F4B9Q7C
https://m.edsoo.ru/C9S0M0W9C
https://m.edsoo.ru/Q9L2O5I9L
https://m.edsoo.ru/P8Y9B9L3H
https://m.edsoo.ru/N7G2I2Y2T
поворот
09.03.2027
49
Параллельный перенос,
поворот
1
0
0
50
Параллельный перенос,
поворот
1
0
0
51
Контрольная работа по темам
"Правильные многоугольники.
Окружность. Движения
плоскости"
1
1
0
52
Понятие о преобразовании
подобия
1
0
0
53
Соответственные элементы
подобных фигур
1
0
0
54
Соответственные элементы
подобных фигур
1
0
0
55
Теорема о произведении
отрезков хорд, теорема о
произведении отрезков
секущих, теорема о квадрате
касательной
1
0
0
56
Теорема о произведении
отрезков хорд, теорема о
произведении отрезков
секущих, теорема о квадрате
касательной
1
0
0
57
Теорема о произведении
отрезков хорд, теорема о
произведении отрезков
1
0
0
12.03.2027
16.03.2027
19.03.2027
23.03.2027
26.03.2027
06.04.2027
09.04.2027
13.04.2027
16.04.2027
https://m.edsoo.ru/T8D4B6J1R
https://m.edsoo.ru/K8G3M1M7M
https://m.edsoo.ru/B9N8P6D9G
https://m.edsoo.ru/M7B4Q1A0U
https://m.edsoo.ru/S4O0S7A9J
https://m.edsoo.ru/E7U8F3I3Q
https://m.edsoo.ru/L7X7S0V7N
https://m.edsoo.ru/I5Y4U2J8K
https://m.edsoo.ru/Y8V3M5Q7U
секущих, теорема о квадрате
касательной
58
Применение теорем в решении
геометрических задач
1
0
0
59
Применение теорем в решении
геометрических задач
1
0
0
60
Применение теорем в решении
геометрических задач
1
0
0
61
Применение движений при
решении задач
1
0
0
62
Контрольная работа по теме
"Преобразование подобия.
Метрические соотношения в
окружности"
1
1
0
63
Повторение, обобщение,
систематизация знаний.
Измерение геометрических
величин. Треугольники
1
0
0
64
Повторение, обобщение,
систематизация знаний.
Параллельные и
перпендикулярные прямые
1
0
0
65
Повторение, обобщение,
систематизация знаний.
Окружность и круг.
Геометрические построения.
Углы в окружности
1
0
0
66
Повторение, обобщение,
1
0
0
20.04.2027
23.04.2027
27.04.2027
30.04.2027
04.05.2027
07.05.2027
11.05.2027
14.05.2027
https://m.edsoo.ru/A0P8I3O3X
https://m.edsoo.ru/P7V2E1D5B
https://m.edsoo.ru/U6P7K9X6F
https://m.edsoo.ru/Z4X4N5H6X
https://m.edsoo.ru/G4N3O6Q7B
https://m.edsoo.ru/W4D9F7T2J
https://m.edsoo.ru/L6T9V9M1M
https://m.edsoo.ru/S5W0E7W4E
https://m.edsoo.ru/H4W1W5T3Q
систематизация знаний.
Вписанные и описанные
окружности многоугольников
18.05.2027
67
Итоговая контрольная работа
1
1
0
68
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
1
0
0
68
5
0
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
21.05.2027
25.05.2027
https://m.edsoo.ru/I4O8W0C1O
https://m.edsoo.ru/B8S9R3L2N
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
9 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
6
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы основного общего образования
Геометрия
Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их
6.1
помощью различные элементы прямоугольного треугольника
(«решение
прямоугольных
треугольников»).
Находить
(с
помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений
Пользоваться
6.2
формулами
приведения
и
основным
тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений
между тригонометрическими величинами
Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения
6.3
различных элементов треугольника («решение треугольников»),
применять их при решении геометрических задач
Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных
элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия
6.4
произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у
подобных фигур. Применять свойства подобия в практических
задачах.
Уметь
приводить
примеры
подобных
фигур
в
окружающем мире
6.5
Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о
произведении отрезков секущих, о квадрате касательной
Пользоваться
6.6
векторами,
понимать
их
геометрический
и
физический смысл, применять их в решении геометрических и
физических задач. Применять скалярное произведение векторов
для нахождения длин и углов
6.7
Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в
решении геометрических и практических задач
Владеть
6.8
понятиями
правильного
многоугольника,
длины
окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла,
уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять
полученные умения в практических задачах
6.9
Находить оси или центры симметрии фигур, применять движения
плоскости в простейших случаях
Применять
полученные
знания
на
практике
–
строить
математические модели для задач реальной жизни и проводить
6.10
соответствующие
вычисления
тригонометрических
калькулятором)
функций
с
применением
(пользуясь,
где
подобия
и
необходимо,
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
9 КЛАСС
Код
6
6.1
Проверяемый элемент содержания
Геометрия
Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное тригонометрическое
тождество. Формулы приведения
Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение
6.2
практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы
синусов
6.3
6.4
Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов
Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков
секущих, теорема о квадрате касательной
Вектор,
6.5
длина
противоположно
(модуль)
направленные
вектора,
векторы,
сонаправленные
векторы,
коллинеарность
векторов,
равенство векторов, операции над векторами. Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
6.6
Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, применение для
нахождения длин и углов
Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности в
6.7
координатах, пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его
применение
6.8
6.9
6.10
6.11
Правильные многоугольники
Длина окружности. Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг
окружностей
Площадь круга, сектора, сегмента
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные
представления). Параллельный перенос. Поворот
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам
освоения основной образовательной программы основного
общего образования на основе ФГОС
Умение оперировать понятиями: множество, подмножество,
операции над множествами; умение оперировать понятиями:
1
граф, связный граф, дерево, цикл, применять их при решении
задач; умение использовать графическое представление множеств
для описания реальных процессов и явлений, при решении задач
из других учебных предметов
Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
2
доказательство;
умение
распознавать
истинные
и
ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить
высказывания и отрицания высказываний
Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и
составное число,
делимость
натуральных
чисел,
признаки
делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная дробь и
десятичная дробь, стандартный вид числа, рациональное число,
3
иррациональное число, арифметический квадратный корень;
умение
выполнять
действия
с
числами,
сравнивать
и
упорядочивать числа, представлять числа на координатной
прямой, округлять числа; умение делать прикидку и оценку
результата вычислений
Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем,
арифметический квадратный корень, многочлен, алгебраическая
дробь, тождество; знакомство с корнем натуральной степени
4
больше единицы; умение выполнять расчёты по формулам,
преобразования целых,
дробно-рациональных выражений
и
выражений с корнями, разложение многочлена на множители, в
том числе с использованием формул разности квадратов и
квадрата суммы и разности
5
Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с
одной
переменной,
числовое
неравенство,
неравенство
с
переменной; умение решать линейные и квадратные уравнения,
дробно-рациональные уравнения с одной переменной, системы
двух линейных уравнений, линейные неравенства и их системы,
квадратные
и
дробно-рациональные
неравенства
с
одной
переменной, в том числе при решении задач из других предметов
и практических задач; умение использовать координатную
прямую и координатную плоскость для изображения решений
уравнений, неравенств и систем
Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули
функции,
промежутки
знакопостоянства,
промежутки
возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения
функции;
6
умение
оперировать
понятиями:
прямая
пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция,
обратная пропорциональность, парабола, гипербола; умение
строить графики функций, использовать графики для определения
свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других
учебных предметов и реальной жизни; умение выражать
формулами зависимости между величинами
Умение
оперировать
арифметическая
7
и
понятиями:
геометрическая
последовательность,
прогрессии;
умение
использовать свойства последовательностей, формулы суммы и
общего члена при решении задач, в том числе задач из других
учебных предметов и реальной жизни
Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты,
доли и части, движение, работу, цену товаров и стоимость
покупок и услуг, налоги, задачи из области управления личными и
8
семейными
уравнения,
финансами);
неравенства
умение
и
системы
составлять
по
выражения,
условию
задачи,
исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность
полученных результатов
Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая,
9
луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, равнобедренный
и равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник,
медиана, биссектриса и высота треугольника, четырёхугольник,
параллелограмм,
ромб,
прямоугольник,
квадрат,
трапеция;
окружность, круг, касательная; знакомство с пространственными
фигурами; умение решать задачи, в том числе из повседневной
жизни, на нахождение геометрических величин с применением
изученных свойств фигур и фактов
Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство
треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых,
угол между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция,
10
подобие фигур, подобные треугольники, симметрия относительно
точки и прямой; умение распознавать равенство, симметрию и
подобие фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в
окружающем мире
Умение
оперировать
понятиями:
длина,
расстояние,
угол
(величина угла, синус и косинус угла треугольника), площадь;
умение оценивать размеры предметов и объектов в окружающем
мире; умение применять формулы периметра и площади
11
многоугольников, длины окружности и площади круга, объема
прямоугольного параллелепипеда; умение применять признаки
равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника,
теорему
Пифагора,
тригонометрические
соотношения
для
вычисления длин, расстояний, площадей
Умение
12
изображать
плоские
фигуры
и
их
комбинации,
пространственные фигуры от руки, с помощью чертёжных
инструментов и электронных средств по текстовому или
символьному описанию
Умение
оперировать
координат;
13
понятиями:
координаты
точки,
прямоугольная
вектор,
сумма
система
векторов,
произведение вектора на число, скалярное произведение векторов;
умение использовать векторы и координаты для представления
данных и решения задач, в том числе из других учебных
предметов и реальной жизни
Умение
14
оперировать
диаграммы,
таблицы,
понятиями:
среднее
столбиковые
и
круговые
арифметическое,
медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора;
умение
извлекать,
интерпретировать
и
преобразовывать
информацию, представленную в таблицах и на диаграммах,
отражающую свойства и характеристики реальных процессов и
явлений;
умение
распознавать
изменчивые
величины
в
окружающем мире
Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный
эксперимент),
элементарное событие (элементарный исход)
случайного опыта, случайное событие, вероятность события;
умение находить вероятности случайных событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями; умение решать
15
задачи методом организованного перебора и с использованием
правила умножения; умение оценивать вероятности реальных
событий и явлений, понимать роль практически достоверных и
маловероятных событий в окружающем мире и в жизни;
знакомство с понятием независимых событий; знакомство с
законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях
Умение выбирать подходящий изученный метод для решения
задачи, приводить примеры математических закономерностей в
природе и жизни, распознавать проявление законов математики в
16
искусстве,
описывать
отдельные
выдающиеся
результаты,
полученные в ходе развития математики как науки, приводить
примеры математических открытий и их авторов в отечественной
и всемирной истории
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ОГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Обыкновенные
и
десятичные
Рациональные числа.
3.3
4
операции
с
рациональными
числами
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
Алгебраические выражения
Буквенные выражения (выражения с переменными)
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
Алгебраическая дробь
3.2
Арифметические
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
2.4
3.1
бесконечные
числами
Многочлены
3
проценты,
периодические дроби
2.3
2.5
дроби,
Арифметический
корень
натуральной
степени.
Действия
с
арифметическими корнями натуральной степени
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности
уравнений
Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности
неравенств
Решение текстовых задач
Числовые последовательности
4.1
Последовательности, способы задания последовательностей
4.2
Арифметическая
и
геометрическая
прогрессии.
Формула
сложных
процентов
5
Функции
Функция,
способы
задания
функции.
График
функции.
Область
определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки
5.1.
знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и
минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке
6
Координаты на прямой и плоскости
6.1
Координатная прямая
6.2
Декартовы координаты на плоскости
7
Геометрия
7.1
Геометрические фигуры и их свойства
7.2
Треугольник
7.3
Многоугольники
7.4
Окружность и круг
7.5
Измерение геометрических величин
7.6
Векторы на плоскости
8
Вероятность и статистика
8.1
Описательная статистика
8.2
Вероятность
8.3
Комбинаторика
8.4
Множества
8.5
Графы
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
